6. 直线与圆的方程公式整理

参考文档 https://oi-wiki.org/tools/latex/#%E6%8F%92%E5%85%A5%E5%85%AC%E5%BC%8F

版权声明 / Copyright#

根基: 两点间距离公式#

|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

其中, $|AB|$ 可用于表示线段长度

参数标识	参数
$x_2$ 与 $x_1$	分别为两点的横坐标
$y_2$ 与 $y_1$	分别为两点的对应纵坐标坐标

TIP
$x$ 与 $y$ 的顺序应当对应

线段中点公式#

x_0 = \frac{x_1+x_2}{2} \\ y_0 = \frac{y_1+y_2}{2}

参数标识	参数
$x_1$ 与 $x_2$	分别为两点的横坐标
$y_1$ 与 $y_2$	分别为两点的对应纵坐标
$x_0$	中点横坐标
$y_0$	中点纵坐标

即

C(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})

其中, $C$ 为线段 $(x_1, y_1)(x_2, y_2)$ 中点

直线#

直线斜率公式#

k = \frac{y_2-y_1}{x_2-{x_1}}

参数标识	参数
$x_2$ 与 $x_1$	分别为同一直线两点的横坐标
$y_2$ 与 $y_1$	分别为同一直线两点的对应纵坐标
$k$	该直线的斜率

直线点斜式#

$P_0(x_0, y_0)$ 为直线上一点, 直线点斜式可表示为

y-y_0 = k(x-x_0)

或

x=x_0\ (限\ k\ 不存在时)

当 $k = 0$ 时, 直线与 x 轴平行, 为了方便表示, 我们也可以直接写为 $y = y_0$

如下表格提供了倾斜角 $\alpha$ 与 $k$ 的关系 (即 $k = \tan(\alpha)$ )

$\alpha$	$k$
$30\degree$ / $\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45\degree$ / $\frac{\pi}{4}$	$1$
$60\degree$ / $\frac{\pi}{3}$	$\sqrt{3}$
$90\degree$	$Infinity$
$120\degree$ / $\frac{2\pi}{3}$	$-\sqrt{3}$
$135\degree$ / $\frac{3\pi}{4}$	$-1$
$150\degree$ / $\frac{5\pi}{6}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$

直线斜截式#

y = kx + b

参数标识	参数
$k$	该直线的斜率
$b$	该直线相较于 $y = kx$ 在竖直方向上移动的偏移量, 即 y 轴截距

TIP
将 $b$ 视为偏移量是为了我比较方便理解, 并且更易直接读出该直线的平行线

$k$ , $b$ 的几何意义#

$k$ 的大小	直线状态	图像
$k > 0$	直线向上倾斜, 即在 $x \in R$ 函数值单调递增	$y=x+2$
$k = 0$	直线平行或重合与 x 轴	-
$k < 0$	直线向下倾斜, 即在 $x \in R$ 函数值单调递减	$y=-x+2$

直线一般式#

Ax+By+C=0\ (A,B不同时为\ 0)

参数标识	参数
$A$	含 $x$ 项系数
$B$	含 $y$ 项系数
$C$	常数项总和

表达式	结果意义
$-\frac{A}{B}$	该直线斜率
$-\frac{C}{B}$	该直线相较于 $y = kx$ 在竖直方向上移动的偏移量

平行(直)线#

当两直线平行, 直线斜截式 $k_1 = k_2$ 且 $b_1 \neq b_2$
其中, $k_*$ 为两直线斜率, $b_*$ 为两直线相较于 $y = kx$ 在竖直方向上移动的偏移量

或

对于直线一般式, $A_1B_2-A_2B_1 = 0$ 且 $-\frac{C_1}{B_1} \neq -\frac{C_2}{B_2}$
其中, $A_*$ $B_*$ $C_*$ 分别为两直线一般式的 $A$ $B$ $C$

平行线间距离#

在 $k_1 = k_2$ 时, 两平行线距离 $d$ 为

d = |b_1 - b_2|

其中, $b_*$ 为两直线相较于 $y = kx$ 在竖直方向上移动的偏移量, 即 y 轴截距

或

平行线 $Ax+By+C_1$ 与 $Ax+By+C_2$ 且 $A$ , $B$ 同时相等时, 两平行线距离 $d$ 为

d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}

两直线交点#

因两直线交点的坐标同时满足两个直线表达式, 且 $k$ 不相等的两直线有且仅有一个交点, 故直接将两直线联立方程组, 解出的 $x$ , $y$ 即为交点 $P(x, y)$

\left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1 = 0 \\ A_2x+B_2y+C_2 = 0 \end{array} \right.

两直线垂直#

当两直线垂直时, $k_1 \times k_2 = -1$
其中, $k_1$ , $k_2$ 分别为两直线斜率, 乘积为 $-1$

或对于直线一般式

\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = -1

点到直线距离#

d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

参数标识	参数
$A$ , $B$ , $C$	见直线一般式
$x_0$	目标点的横坐标
$y_0$	目标点的纵坐标

圆#

圆的标准方程#

(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2

参数标识	参数
$a$	圆心横坐标 (x 坐标)
$b$	圆心纵坐标 (y 坐标)
$r$	该圆半径

圆的一般方程#

当 $D^2+E^2-4F > 0$ 时, 如下表达式可代表圆
当 $D^2+E^2-4F = 0$ 时, 如下表达式可代表点 ( $-\frac{D}{2}$ , $-\frac{E}{2}$ )

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

参数标识	参数
$D$	含 $x$ 项系数
$E$	含 $y$ 项系数
$F$	常数项总和

圆心为( $-\frac{D}{2}$ , $-\frac{E}{2}$ )
圆的半径则为 $\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$
或使用配方法转换为圆的标准方程直接看出半径和圆心

圆与点/直线的位置关系#

参考根基: 两点间距离公式和点到直线距离, 将圆心视为目标点, 后判断 $d$ 与 $r$ 的关系
$d > r$ 在圆外/相离
$d = r$ 在圆上/相切
$d < r$ 在圆内/相交

求过圆上一点圆的切线表达式#

(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2

参数标识	参数
$x_0$	圆上点的横坐标
$y_0$	圆上点的纵坐标
$a$ , $b$ , $r$	见圆的标准方程

后将 $r^2$ 视为常数, 化简即可得到直线的表达式

过某点求圆的切线表达式#

先求出圆心, 后判断圆与点的位置关系
若点在圆内, 则无切线
若点在圆上, 按照求过圆上一点圆的切线表达式, 求出 1 条 切线
若点在圆外, 按照如下方法求出 2 条 切线

y-y_0 = k(x-x_0)

转为一般式

kx-y-kx_0+y_0= 0

d = \frac{|kc_x-c_y-kx_0+y_0|}{\sqrt{k^2+1^2}} = r

解出 $k$ 方可得出两个直线表达式

TIP
若 $k$ 解得仅一个时, 须在题前补充当 $k \neq Infinity$ ( $k$ 存在时)
而 $k = Infinity$ 时的表达式则为 $x = x_0$

参数标识	参数
$x_0$ , $y_0$	目标点坐标
$c_x$ , $c_y$	圆心坐标
$d$	直线到圆心距离, 由于相切, $d = r$
$r$	半径

相切直线所截弦长#

l = 2\sqrt{r^2-d^2}

参数标识	参数
$l$	弦长
$d$	直线到圆心距离
$r$	半径

版权声明 / Copyright#

根基: 两点间距离公式#

线段中点公式#

直线#

直线斜率公式#

直线点斜式#

直线斜截式#

kkk, bbb 的几何意义#

直线一般式#

平行(直)线#

平行线间距离#

两直线交点#

两直线垂直#

点到直线距离#

圆#

圆的标准方程#

圆的一般方程#

圆与点/直线的位置关系#

求过圆上一点圆的切线表达式#

过某点求圆的切线表达式#

相切直线所截弦长#

$k$ , $b$ 的几何意义#